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Problème proposé par le Lycée en Forêt de MONTARGIS
(Professeur de Mathématiques responsable : Daniel COLLONGUES)

Présentation de l’exercice : (lecture facultative)

   L’astronome polonais COPERNIC a écrit un livre, publié en 1543, dans lequel il décrit un modèle simplifié du système solaire. « Les orbites des planètes sont des cercles, parcourus à vitesse constante (différente selon chaque planète) ; ces cercles ont tous pour centre le Soleil et sont dans un même plan. »

   On cherchera une relation entre la période sidérale de révolution et la période synodique, puis quelle est la durée d’un phénomène particulier.

Énoncé :

  Soit quatre cercles (v), (t), (m), et (j) de même centre S ; les rayons de ces cercles sont respectivement :  4 ; 6 ; 9 et 31. Sur chaque cercle, un point se déplace à vitesse constante : V sur (v), T sur (t), M sur (m) et J sur (j) ; ces vitesses sont différentes.

1°) Le point T fait un tour complet en 365,25 jours. Le point J fait un tour complet en 4332 jours. Calculer la durée (en jours) qui sépare deux alignements T-S-J consécutifs. Pourquoi la valeur des rayons n’a-t-elle aucune importance ?

2°) Sachant que deux alignements (consécutifs) T-S-V sont séparés par 584 jours, calculer en combien de jours le point V fait un tour de cercle (v).

3°) En supposant que le point M fait un tour complet du cercle (m) en 780 jours, déterminer combien de temps dure son mouvement rétrograde (vu depuis le point T) ; cela se passe un peu avant et un peu  après le moment où l’angle vaut 180° .

  On pourra aussi calculer cette durée pour V et J

 Remarque : le nom des cercles correspond aux planètes Vénus, Terre, Mars  et Jupiter.

voir la solution (en français)


Problem from Lycée en Forêt in MONTARGIS – 1st contest in Maths

(responsible teacher : Mr Daniel COLLONGUES)

Presentation of  the exercise : (optional reading)

   The polish astronomer COPERNIC wrote a book, published in  A.D. 1543, in which  he describes a simplified model of the solar system. “The orbits of the planets are circles, gone over at a with constant speed (different for each planet) ; these circles have all the Sun for their centre and are in the same plane.”

  We will be looking for a relation between the sidereal period of revolution and the synodic period, and then we will wonder what the duration of a particular phenomenon.

 Wording :

  Being given four circles (v), (t), (m), and (j) having same centre S ; the radius of these circles are respectively :  4 ; 6 ; 9 and 31. On each circle, some dot moves at a constant speed :  V on (v), T on (t), M on (m)  and J on (j) ; these speeds are all different.

1°) Dot T makes a full lap in 365,25 days. Dot J makes a full lap in 4332 days. Compute (work out) how many days separate two consecutive settings on a same line T-S-J. Say why the values of radius are of no importance.

2°) Knowing that two consecutive settings on a line T-S-V are separated by 584 days, work out in how many days dot V makes a full lap of (v).

3°) Supposing that dot M makes a full lap of (m) in 780 days, determine how long its movement of retrogradation is (seen from dot T) ; it happens a little before and a little after the moment in which the angle is 180°.

The duration may also be worked out for V and J.

Remark : the name of circles is in connexion with planets Venus, Earth, Mars and Jupiter (in French language, of course).  

To the solution in English


Solution

1°) La vitesse du point T (en degré par jour) vaut 0,985626283, tandis que celle de J est 0,083102493 ; donc l’angle JST augmente de 0,902523790°/jour, et la Terre fera un tour (sur son orbite) de plus que Jupiter au bout de 398,88 jours.

Avec   360 / 365,25 = 0,985626283    ;    360 / 4332 = 0,083102493 

On a ainsi :   1 / (1/365,25 – 1/4332)  =  398,88.

Tout le raisonnement se fait avec des vitesses angulaires, donc les rayons des cercles n’ont pas d’importance.

 

2°) Si  x  est la durée nécessaire à Vénus (le point V) pour faire un tour (= 360°), en calculant comme à la question précédente, on posera :

584 = 1 / (1/x – 1/365,25)   ;  donc   x = 1 / (1/365,25 + 1/584) = 224,71 jours.

Remarque : ces deux raisonnements  sont habituels  en STROBOSCOPIE.

 

3°) La question est plus difficile ! Il fallait savoir que la rétrogradation est un mouvement apparent parmi les étoiles, en sens inverse du mouvement de la Lune, de celui du Soleil, et des planètes (dans leur mouvement ordinaire).

   Prenons un repère dont le Soleil est l’origine, où l’axe des abscisses est l’alignement  S-T-M dans cet ordre ; prenons donc l’origine des dates au moment où Mars est en opposition avec le Soleil (vu depuis la Terre).

  On peut exprimer les coordonnées de T et de M, à l’aide de la trigonométrie, en appelant  u  l’angle MST, exprimé en radians ;  u  est proportionnel au temps  d écoulé depuis l’opposition (en jours). Dans un tel repère, le coefficient directeur p  de la droite (TM), nul à l’opposition, est tout d’abord de plus en plus négatif, car il y a rétrogradation (il faut dessiner quelques positions). Lorsque la rétrogradation cesse, p est une fonction croissante du temps.

  On en trouvera la durée en cherchant la valeur de  u  qui annule la dérivée du coefficient directeur p par rapport au temps d ; il faut encore convertir en jours, et multiplier la durée trouvée par 2, car la rétrogradation est aussi longue avant qu’après l’opposition. Les coordonnées de T sont : x1 = 6cos(u)  et  y1 = 6sin(u).

  En appelant k le rapport des vitesses angulaires (de M par rapport à T), c’est-à-dire k = 365,25/780, les coordonnées de M sont : x2 = 9cos(ku)  et  y2 = 9sin(ku)

   Alors   p  =  (y2 - y1) / (x2 - x1) = [1,5sin(ku) – sin(u)] / [1,5cos(ku) – cos(u)]

   Et la dérivée est nulle lorsque :

[1,5k.cos(ku) – cos(u)][1,5cos(ku) – cos(u)] + [1,5sin(ku) – sin(u)][1,5k.sin(ku) – sin(u)] = 0

Soit, après simplifications :   1,5²k + 1 – 1,5(1 + k)[cos(ku).cos(u) + sin(ku).sin(u)] = 0

D’où : cos[(1 - k) u] = (1 + 2,25k) / 1,5(1 + k) = 0, 932438332   (puisque  k = 0,468269231)

Alors (en radians) : u = 0,36969296 / 0,468269231 = 0,695263432

En multipliant par   365,25 / 2p, on trouve 40,4 jours pour la moitié du temps de rétrogradation. La rétrogradation dure environ 81 jours.

   Attention, les orbites réelles ne sont pas aussi simples ; Képler, puis Newton ont bien amélioré le modèle des mouvements des planètes.


Solution in English

1°) The speed of dot T (in degrees per day) is 0,985626283, while for dot J it is 0,083102493 ; so the angle JST  increases  0,902523790°/day, and the Earth will makes one lap (on its orbit) more than Jupiter after 398,88 days.

With   360 / 365,25 = 0,985626283    ;    360 / 4332 = 0,083102493 

So we have :   1 / (1/365,25 – 1/4332)  =  398,88.

   All the reasoning is made with angular speeds, then the radius of the circles are of no importance.

 

2°) If x is the useful time to Venus (the dot V) make a full lap, by computing likewise than previous question, we shall put :

584 = 1 / (1/x – 1/365,25)   ;  then   x = 1 / (1/365,25 + 1/584) = 224,71 days.

Remark : these two reasonings are useful in STROBOSCOPY.

 

3°) The question is more difficult ! You had to know that the retrogradation is an apparent movement among stars, in a way contrary to those of Moon, Sun and planets (in their common movement).

   Let us take a reference (with origin and 2 data lines) which the Sun is origin, which axis of abscisses is the line where S-T-M are set in this order ; then let us take origin of dates when Mars is opposite to the Sun (seen from the Earth).

   We can express the coordinates of T and M, using trigonometry, by calling  u  the angle MST, expressed in radians ;  u  is in the same rate than the time  d  past from the opposition (in days). In such a reference, the directing rate  p  of right line (TM), null on the opposition, is first of all more and more negative, for there is retrogradation (you must draw some positions). When the retrogradation stopped,  p  is function increasing with time.

   You will find its duration by searching the value of  u  which cancels the derivate of directing rate  p  with regard to the time  d  ; we must do conversion in days, and multiply the founded time by 2, because the retrogradation is as long before than after opposition.

The coordinates of T are :  x1 = 6cos(u)  and  y1 = 6sin(u)

By calling k the rate of angular speeds (M with regard to T), ie  k = 365,25/780, the coordinates of M are : x2 = 9cos(ku)  and  y2 = 9sin(ku).

  Then   p  =  (y2 - y1) / (x2 - x1) = [1,5sin(ku) – sin(u)] / [1,5cos(ku) – cos(u)]

And the derivate is null when :

[1,5k.cos(ku) – cos(u)][1,5cos(ku) – cos(u)] + [1,5sin(ku) – sin(u)][1,5k.sin(ku) – sin(u)] = 0

So, after simplifications :   1,5²k + 1 – 1,5(1 + k)[cos(ku).cos(u) + sin(ku).sin(u)] = 0

Hence : cos[(1 - k) u] = (1 + 2,25k) / 1,5(1 + k) = 0, 932438332  (puisque  k = 0,468269231)

Then (in radians) : u = 0,36969296 / 0,468269231 = 0,695263432

Multiplying by   365,25 / 2p, we find 40,4 days for half the time of retrogradation. The retrogradation remains about 81 days.

   Be careful, because the real orbits are not of such a simplicity ; Kepler, and Newton improved the model of planetary motions.


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